corpuscul.net

Процесс возбуждения струн в значительной мере определяет акустические качества фортепиано. Теоретический анализ этого процесса связан с некоторыми трудностями, поэтому прибегают к ряду упрощений.
Взаимодействие молотка со струной. Система молоток —. струна может быть представлена в виде сосредоточенной массы
молотка т, эквивалентной гибкости фильцевой наклейки (подушки) С и элемента механического сопротивления R , рис:

Основное упрощение такой схемы заключается в том, что элементы R и С принимаются линейными.
Смещение молотка х1 отсчитывается от положения массы m в начале удара. Смещение струны х2 отсчитывается от положения струны в состоянии покоя. При свободном полете молотка (3—5 мм от струны) в некоторый момент времени t = 0 происходит касание струны фильцевой подушкой молотка, после чего происходит процесс сжатия фильца, что эквивалентно сжатию элемента гибкости С на величину х1—х2. Вследствие наличия силы трения в элементе R возникает разница скоростей v1 = dx1/dt и v2 = dx2/dt. Сила, действующая на струну со стороны элемента гибкости молотка С, пропорциональна сжатию фильца и равна (х1 -х2)/С. Сила, действующая на струну со стороны элемента трения R, пропорциональна скорости сжатия фильца и равна R(dx1 /dt — dx2/dt). Реакция струны Fp(t) уравновешивает сумму этих сил:

Скорость струны Vc0(t) при воздействии единичной силой F0(1) представляет собой переходную податливость струны в точке приложения силы:

Переходная податливость y0(t) зависит от свойств струны, граничных и начальных условий. Перемещение струны х2 под действием импульса силы T(t) выразится с помощью интеграла дюамеля

где τ - новая координата времени. В момент времени t = 0,  Т = 0; v1 = vo; х1 = х2 = 0; v2 = 0.
Зная, что импульс силы  имеет производную, равную действующей на струну силе T'(t) = F0(t), выражение (4.46) с учетом зависимости (4.41) можно представить в виде

Сила инерции молотка md²x1/dt² равна реакции струны Fp(t) с обратным знаком:

Уравнения (4.47) и (4.48) в операторной форме после преобразований примут вид

Их совместное решение дает следующие выражения:

С учетом соотношения (4.44) выражение для силы, действующей на струну, в операторной форме будет

Решение уравнений для конкретных условий позволяет уяснить отдельные стороны процесса возбуждения фортепианной струны. Для этого в уравнения (4.49), (4.50) и (4.51) необходимо подставить соответствующие значения механического сопротивления струны Z(p) в операторной форме.

Возбуждение басовых струн. Волновое сопротивление басовых струн велико, а скорость распространения волн возбуждения мала. Отраженные от концов струны волны, как правило, не успевают достигнуть молотка до момента его отрыва от струны, поэтому процесс возбуждения струны можно рассматривать без учета отраженных волн. В этом случае допускают, что струна является жесткой опорой, тогда ее механическое сопротивление равно удвоенному волновому Z(p) = 2Wс, так как энергия удара расходуется на распространение волн в обе стороны от места удара молотка. Подставив значения Z(p) в выражения (4.49), (4.50) и (4.51) и перейдя к функции времени, получим следующие выражения:

Время удара молотка по струне tк можно определить, приравняв Fo(t) нулю, из условия cos w1t - [(a — β) /w1] sin w1t = 0. Оно равно

Практически можно считать, что время касания молотком струны не превышает половины периода его собственных колебаний, т. е. Т/2 = π/w1 Если положить R = 0, уравнение (4.55) примет вид

При этом . Выражение (4.54) для силы, действующей на струну, будет

Поскольку волновое сопротивление струны в этом случае весьма велико, можно предположить a0 = 0. Тогда время касания молотка будет

а сила, действующая на струну, будет представлена соотношением

При соблюдении условия w1 >> a0 и допущении R = 0 формулы (4 55) и (4.56) пригодны для использования в практических расчетах.
Кинетическая энергия молотка, имеющего скорость vo и массу т, в момент, предшествующий удару по струне,

Она расходуется на создание колебаний струны, преодоление трения фильца и сообщение молотку обратного хода. В момент отрыва от струны молоток будет иметь скорость v1 = v1к, но направленную в противоположную сторону. При этом кинетическая энергия молотка

Продифференцировав выражение (4.52) и подставив результат в формулу (4.61) при t = tк, можно определить полную энергию, затраченную молотком при ударе по струне:

Полезная энергия, полученная струной при ударе, может быть найдена из соотношения

Если R = 0, то w = w0, а = а0, и выражение (4.63) станет тождественным выражению (4.62), т. е. вся энергия, отданная молотком, будет полезной. К концу удара молоток перемещает струну на расстояние

Скорость молотка при этом

Отраженная от ближайшей опоры волна вернется в точку возбуждения струны через

где ∆L0 — длина отрезка струны от точки удара до ближайшей опоры; vс — скорость распространения волн в струне.

Если t0 > X2к/V1к, отраженная волна не успеет отбросить молоток. Из уравнений (4.64) и (4.65) можно получить

Если это условие не соблюдается, струна второй раз коснется молотка и его отбросит назад еще раз, израсходовав на это часть запасенной энергии.
Для ориентировочных расчетов можно допустить R = 0. В этом случае удобно пользоваться упрощенной формулой

где  — характеристическое сопротивление молотка.
Время касания молотка tko при R = 0 будет определяться по уравнению (4.56), где

При расчете акустического аппарата фортепиано первоначально определяется исходя из заданных габаритов мензура инструмента, т. е. параметры струн, обеспечивающие требуемые частоты, некоторые скорости распространения волн по струнам и их волновые сопротивления. Зная параметры струн, можно подобрать оптимальные параметры молотков, время касания молотком струны при ударе. В некоторых пределах можно варьировать величины t0 и tk, подбирая, например, массы и упругости молотков и корректируя места ударов молотков по струнам, рис:

График построен по зависимости  от величины 2W c/ p в соответствии с уравнением (4.68).

Некоторые типовые параметры, характеризующие систему молоток — струна для басового регистра, приведены в табл. 4.7:

Возбуждение струн среднего регистра. При возбуждении струн среднего регистра (примерно 30 ..60 хоры) за время удара молотка по струне волна, отраженная от ближней к точке возбуждения опоры, иногда успевает вернуться в эту точку и воздействовать на молоток. Условие (4.63) в этом случае не выполняется. Волновое сопротивление струн среднего регистра существенно меньше, чем басового. Однако увеличение числа струн в хоре несколько повышает суммарные волновое и механическое сопротивления. С достаточной для практических расчетов точностью можно допустить, что гибкости фильцевой подушки молотка и струны линейны. Кроме того, с целью упрощения анализа трение фильцевой подушки также принимают равным нулю (R = 0). Тогда время касания молотком струны приближенно (для изменяющейся синусоидально силы удара) можно выразить

где  - собственная круговая частота колебаний системы молоток—струна в момент удара . Время касания молотком струны в среднем регистре зависит от места удара, что учитывается полуэмпирическим соотношением

где tко = πwо; to = ∆Lo / (Lf) — время возвращения отраженной волны к месту удара молотка.
В соответствии с уравнением (4.70) собственная круговая частота системы молоток — струна для среднего регистра

С некоторыми допущениями силу, действующую на струну в среднем регистре, можно описать соотношением

Практически сила, действующая на струну, не вполне синусоидальна и величина ее из-за влияния трения фильцевой подушки молотка несколько меньше получаемой из соотношения (4.72).
Энергия, отданная молотком в результате удара по струне с учетом названных допущений, описывается формулой

где Eo = mvо/2 — полная энергия молотка в момент удара по струне.

Уравнение (4 73) предполагает, что волна, отраженная от дальней опоры (штега), не успевает вернуться в точку возбуждения к моменту прекращения удара. Из уравнения следует, что энергия, отдаваемая молотком струне, в значительной мере зависит от места удара и с удалением его от ближайшей опоры растет. Однако, так как требуется получить определенный спектр колебаний струн, удаление места удара молотка or ближайшей опоры целесообразно лишь в определенных пределах.
Возбуждение струн дискантового регистра. В дискантовом (верхнем) регистре (примерно 61...88 хоры) периоды колебаний струн не только сравнимы со временем удара молотка, но и могут быть меньше его. В дискантовом регистре за время удара к месту касания молотком струны успевают вернуться отраженные опорами волны не только от ближней, но и от дальней опоры. Анализ показывает, что влияние отраженных волн на ускорение молотка, а следовательно, и характер силы, действующей на струну, практически незначительно. Поэтому можно считать, что сила, действующая на молоток, изменяется по закону, близкому к синусоидальному. Поскольку время касания молотком струны больше периода ее собственных колебаний, реакция струны на молоток имеет упругий характер. Амплитуды колебаний струны малы по сравнению с величиной сжатия фильцевой подушки молотка (он более гибкий, чем струны). Зависимость ускорения молотка от времени имеет форму, близкую к синусоидальной. Тогда силу воздействия молотка на струну, если пренебречь трением фильцевой подушки (R = 0), можно представить в виде

где t = π/wв.
Частота силы wв будет определяться массой молотка m, гибкостью фильцевой подушки С и гибкостью струны Сс. Так как время соприкосновения молотка со струной

и предполагается большим периодом колебания струны 2π / wc , поэтому

Амплитуда силы, действующей на струну,

где  — характеристическое сопротивление молотка.
Чем больше гибкость струны Сс, тем меньше амплитуда силы, действующей на струну. Энергию, полученную струной от молотка, с учетом принятых допущений при tкв больше периода колебаний струны, определяют по формуле

где m — масса молотка; mc—масса рабочей части струны.
Из формулы (4.78) следует, что для увеличения отдачи энергии молотком необходимо повысить кинетическую энергию молотка и уменьшить массу струн и время их касания. Так как по конструктивным причинам невозможно уменьшить массу молотка ниже некоторой оптимальной величины, целесообразно уменьшить гибкость фильцевой подушки молотка.
Некоторые экспериментальные и расчетные характеристики системы молоток — струна. Из экспериментальных и расчетных данных следует, что гибкости и сопротивления фильце-вых подушек молотков сильно зависят как от номера хора, так и от скорости молотка, причем значения этих параметров для одного инструмента отличаются в несколько раз (табл. 4.8).
Количественные значения, характеризующие струны фортепиано, даны в табл. 4.9.

Зависимость времени касания молотком струн от места удара для среднего и дискантового регистров показана на рис. 4.14. Расчеты произведены по формулам (4.70) и (4.75) соответственно. Зависимость времени касания молотком струн от номера хора для хорошего рояля, полученная экспериментально, приведена на рис. 4.15.
От правильности выбора мест удара, причем в верхнем регистре более, чем в других, зависит качество звука. Практически место удара молотка в верхнем регистре можно найти из соотношения

где L — длина рабочей части струны; Сс — гибкость струны в точке удара; Co=L/(4Fn) —гибкость струны (хора) в середине рабочей части; п — количество струн в хоре; F—усилие натяжения струн в хоре.
Гибкость струны (статическую) в точке удара молотка можно определить по формуле

где ∆Lk = L — Lo—расстояние от точки удара до дальней опоры.

По конструктивным соображениям линия удара молотков в фортепиано делается прямой, линии же опор струн — кривыми.' При интонировке инструментов интонировщик либо уменьшает, либо увеличивает гибкость фильцевых подушек молотков, добиваясь наибольшей громкости звука (в чем, собственно, и заключается процесс интонировки). Для улучшения звучания дискантового регистра целесообразно, как правило, уменьшать массу молотков и гибкость их фильцевой подушки, при этом необходимо увеличивать скорость молотков в момент удара по струне обратно пропорционально корню квадратному из массы. Это позволит сохранить на нужном уровне кинетическую энергию молотков и не снизить коэффициент полезного действия (КПД) клавишных механизмов. При выполнении этих условий для приближенного расчета КПД механизма можно принимать во внимание лишь массы подвижных частей механизма. Тогда КПД механизма вычисляют по формуле

где mМ — приведенная к точке удара по клавише масса молотка; m1 - эквивалентная масса остальных подвижных частей механизма (фигуры, шпиллера, шультера, клавиши), приведенная в точке удара по клавише.
В современных механизмах фортепиано ηМ составляет 0,6...0,8. КПД передачи энергии от молотка струне приближенно можно определить из соотношения

где Е0— энергия молотка при подлете к струне; Ек—энергия молотка, уносимая нм после удара; vo— скорость молотка в момент, предшествующий удару по струне; vк — скорость молотка в момент отрыва от струны Практически ηс = 0,5 ... 0,8

Из соотношений (4.80) и (4.81) следует: чтобы увеличить КПД механизма, необходимо по возможности уменьшить отношение массы подвижных частей механизма к массе молотка. Чтобы увеличить КПД передачи энергии от молотка струне, необходимо по возможности увеличить скорость молотка в момент, предшествующий удару по струне, и уменьшить скорость отлета молотка от струны.
Интенсивность звука пианино при силе удара по клавише 30 Н на расстоянии 3 м от инструмента обычно составляет, Па: для низкого регистра 0,5...1,5, среднего — 0,5...2, высокого — 0,2.. 0,8 Интенсивность звука рояля при тех же условиях может быть больше на 0,1...0,2 Па Неравномерность интенсивности может превышать 1 Па. Для соседних клавишей разница интенсивносгей достигает 0,1 Па.
Спектральный состав колебаний струн. Член уравнений () и () sin (πn ∆L0/L) определяет спектр колебаний струны, возбужденной на расстоянии ∆L0 от ближайшей опоры. Из выражения следует, что в спектре колебаний струн не будут присутствовать составляющие, удовлетворяющие уравнению

Интервалы, образуемые восьмой и соседними с ней гармониками, являются диссонантными, поэтому отношение ∆L0/L выбирают для низкого и среднего регистров инструмента примерно 1/7... 1/9 (см. п. 4.3). Это позволяет существенно ослабить 7—9-й частичные тоны и тем самым повысить качество тембра.
По мере постепенного перехода от басового к дискантовому регистру основная энергетическая нагрузка колебаний струны переходит от 3—5-й гармоник к 1-й гармонике, что определяется характером возбуждения и параметрами струн и молотков, В дискантовом регистре нет необходимости уменьшать амплитуды 8-й и соседних с ней гармоник, поскольку спектр колебаний струн определяется не только местом удара по струне, но и параметрами молотков и струн. А. В. Римским-Корсаковым в результате анализов процесса возбуждения струн была предложена формула для расчета спектра колебаний:

где Fn — сила, действующая на опору  струны (штег); m — масса молотка; Vo — скорость молотка в момент, предшествующий удару по струне; ft — основная частота колебаний струны; n—порядковый номер частичного тона (гармоники); tк — время касания молотком струны при ударе; ∆L0 — расстояние от ближайшей опоры до места удара молотка по струне; L — длина рабочей части струны.

При этом предполагалось, что зависимость от времени силы, действующей на струну, по форме соответствует половине периода синусоиды [см. отношения (4.59), (4.72) и (4.74) ].
Формула (4.83) не учитывает влияния на спектр колебаний струны амплитудно-частотной характеристики деки и может быть использована для приближенных расчетов спектра в зависимости от места и времени удара молотком по струне, если m, vo и f1 заданы. Последний сомножитель формулы (4.83) определяет зависимость спектра от места удара молотка. Сомножитель

определяет зависимость спектра колебаний от времени касания молотком струны tK, которое в зависимости от регистра инструмента отыскивается из соотношений (4.55), (4.70) или (4.72).
Характер распределения энергии колебаний по спектру, полученный экспериментально, в общих чертах соответствует расчетному, рис:

Однако уровни первых частичных тонов частотой ниже 122 Гц заметно снижены и основные тоны частотой до 55 Гц практически отсутствуют, что объясняется снижением излучательной способности деки на этих частотах. Уменьшение энергии обертонов по сравнению с расчетной начинается на частотах основных тонов выше 400 Гц, а на частотах выше 1000 Гц фактически присутствуют лишь основные тоны, что объясняется большим временем касания молотком струны при ударе по отношению к длительности периодов колебаний струн и пониженным излучением деки на высоких частотах. Наибольшее сходство расчетных и экспериментальных спектров наблюдается в среднем регистре.
Фактическая форма импульса силы, действующей па струну, с учетом нелинейности гибкости фильцевой подушки молотка будет иметь вид не правильной половины синусоиды, как допускалось выше при расчетах [см. формулы (4.59), (4.72), (4.74)], а немного искаженной (рис. 4.17). В этом случае сила,

действующая на струну в процессе удара, может быть описана формулой

С увеличением силы удара по струне форма импульса силы меняется, а время касания молотком струны уменьшается. Это приводит к зависимости в некоторой мере спектра колебаний возбужденной струны от силы удара, что и наблюдается экспериментально. С учетом выражения (4.85) силу, действующую со стороны струны на штег, можно представить в виде

характеризует спектр колебаний струны.
При том же соотношении между основными частотами колебаний струн и времени ударов молотка спектр, рассчитанный с учетом нелинейности гибкости по формуле (4 87), имеет большую протяженность (богаче обертонами), чем спектр колебаний струны, рассчитанный при предполагаемой линейности гибкости фильца молотка по формуле (4.84) (рис. 4.18).