corpuscul.net

Когда звуковая волна встречает препятствие, некоторая её часть отклоняется от своего первоначального направления. Разность между действительной волной и волной, какая существовала бы при отсутствии препятствия, называют рассеянной волной. Например, когда плоская волна встречает на своём пути некоторое тело, то к начальной плоской волне добавляется рассеянная волна, которая распространяется от препятствия в различных направлениях, складываясь с ней и искажая её. Если препятствие очень велико по сравнению с длиной волны (как это обычно бывает со световыми волнами, но довольно редко со звуковыми), то половина рассеянной волны распространяется более или менее равномерно по всем направлениям от препятствия, другая же половина, сосредоточиваясь сзади препятствия, даёт сильную интерференцию с падающей плоской волной, в результате чего сзади препятствия образуется тень с резкими краями. Этот случай является характерным для геометрической оптики; половина рассеянной волны, уходящая назад, называется в этом случае отражённой волной, а та часть, которая «ответственна» за область тени, называется интерференционной волной. Если препятствие очень мало сравнительно с длиной волны (как это часто бывает в случае звуковых волн), то рассеянная волна излучается почти равномерно по всем направлениям, обратным направлению падающей волны, и в этом случае тень с отчётливыми краями отсутствует. В промежуточном случае, когда препятствие имеет размеры того же порядка, как длина волны, происходят разнообразные и сложные явления интерференции.

В настоящей статье, поскольку мы изучаем звуковые волны, нас интересуют в основном те случаи, когда длина волны больше размеров препятствия или, по крайней мере, такой же величины, как препятствие. В акустике мы не встретим и не будем изучать отчётливых теней. Поскольку рассеянная волна будет распространяться в ином направлении, чем падающая плоская волна, то полная, («деструктивная») интерференция рассеянной и падающей волны не будет иметь места, и мы будем в состоянии отделить все рассеянные волны от начальной плоской волны. В дальнейшем мы будем интересоваться общей величиной энергии рассеянной волны, распределением её по различным направлениям и звуковым давлением в различных точках поверхности препятствия.
Рассеяние звука цилиндром.—Сначала мы разберём рассеяние цилиндром, радиуса а, плоской звуковой волны, распространяющейся в направлении, перпендикулярном к оси цилиндра. Цилиндр предполагается абсолютно твёрдым и неподвижным, так что нормальная скорость частиц на его поверхности должна быть равна нулю. Пусть интенсивность плоской волны будет  При отсутствии цилиндра волна давления может быть выражена так:

если предположить, что волна распределяется вдоль положительной оси х, направленной перпендикулярно к оси цилиндра. Такую плоскую волну можно представить в виде суммы цилиндрических волн  ( посредством формулы  ):

Радиальная скорость, соответствующая этой волне, будет равна

При наличии цилиндра, ось которого соответствует r = 0, волна не может иметь форму, данную вышеприведённым рядом, так как цилиндр искажает поле плоской волны. В добавление к плоской волне появляется ещё такая рассеянная, расходящаяся волна, что радиальная скорость, соответствующая сумме этих двух волн, будет равна нулю на поверхности цилиндра r = а.
Мы представим эту расходящуюся волну давления в форме следующего ряда:

Здесь взята комбинация функций J + iN, чтобы выразить, чю вся рассеянная волна является расходящейся.
Наша задача состоит в нахождении таких значений коэффициентов Аm, при которых сумма upr + usr обращается в нуль при r = a. Приравнивая почленно выражения urs и —upr при r = a, мы получаем:

где ε0 = 1 и εm = 2 для всех значений m, больших единицы. Фазы γm определены уравнениями  , когда мы разбирали излучение звука цилиндром. Величины некоторых из них даны в таблице X в конце книги. Величина фазовых углов γm полностью определяет поведение рассеянной волны. Интересно отметить близкую связь между волнами, рассеянными цилиндром, и волнами, излучёнными тем же самым цилиндром при его колебаниях. Величины, необходимые для вычислений, в том и другом случае одинаковы.
Давление и радиальная скорость в рассеянной волне на больших расстояниях от цилиндра будут:

Интенсивность рассеянной волны в точке (r, ф) при (kr > 1) будет, таким образом:

где ε0=1, εm = 2 (m >0). Полярные диаграммы направленности излучения в функции угла ф для различных значений параметра μ = (2πva / с) приведены на фиг.

Фиг. Рассеяние плоской звуковой волны твёрдым цилиндром радиуса а. Полярные диаграммы показывают характеристики направленности (по интенсивности) рассеянной волны.

Интересно отметить изменение характеристики направленности рассеянной волны при изменении длины волны. Для весьма длинных волн (при малом μ ) имеется очень небольшое рассеяние, причём оно почти равномерно распределено во всех направлениях, обратных к направлению распространения падающей волны. По море роста частоты распределение интенсивности в функции угла становится всё более и более сложным, причём появляются дифракционные пики в направлении вперёд. Для очень коротких волн (гораздо короче, чем показанные на фиг ), половина рассеянной волны сосредоточивается точно в направлении вперёд (интерферирующий пучок), а другая половина распределяется более или менее равномерно по всем направлениям. Эта картина может быть выражена полярной диаграммой, состоящей из кардиоиды, с добавлением острого и очень длинного пика в направлении вперёд, как это будет ясно из выражения (29.4).
При очень низких частотах только две цилиндрические волны, соответствующие m =0 и m = 1, имеют
значение для учёта рассеяния звука. Из формул  следует

Приближённое выражение для интенсивности рассеянного звука при длинных волнах будет следующее:

Предел для коротких волн. —Для длин волн, очень малых по сравнению с окружностью цилиндра, применимо относительно простое приближение с точки зрения «геометрической акустики», причём «рассеянная» волна представляется разделённой на две
части: «отражённую» и «тенеобразующую» волну. Однако доказательство того, что ряд, выраженный формулой (29.3), действительно может быть представлен в более простой форме, требует весьма сложных математических преобразований.
Прежде всего ряд (29.3), который по своей форме весьма подходит для расчёта рассеяния длинных волн, непригоден для обнаружения деталей интерференции между падающей волной и частью «рассеянной» волны, в результате чего появляется тень. В оптике проводится различие между «дифракцией Фраунгофера», когда интенсивности измеряются на столь больших расстояниях, что угол, под которым виден дифрагирующий предмет, мал, по сравнению с отношением (λ2πа) = (1/kа), и «дифракцией Френеля», когда расстояния велики по сравнению с длиной волны, но не слишком велики по сравнению с (2πа). Формулы дифракции Френеля показывают наличие тени и связанных с нею дифракционных по оси, но на больших расстояниях, когда явление описывается формулами дифракции Фраунгофера, тень уже становится размытой. Ряд (29.3) выведен для расстояний, соответствующих фраунгоферовой дифракции. При помощи этого ряда можно обнаружить разделение «рассеянной» волны на «отражённую» и «тенеобразующую» волну, но нельзя учесть детали интерференции с падающей волной, которые выявляются из формул дифракции Френеля.
Кроме того, более простой вид выражений для коротких волн выявляется лишь в среднем; интенсивность рассеянной волны очень резко изменяется в зависимости от угла по сложному закону, и только средняя (на градус или на минуту) интенсивность показывает плавный ход. Эти детали картины редко доступны измерению, так как ничтожное изменение частоты или положения цилиндра достаточно, чтобы они оказались размытыми, в результате чего будет измерена одна средняя интенсивность. Таким образом, вычисления надо так протеста, чтобы отделить резкие колебания интенсивности от средней интенсивности «отражённой» волны.
После всех сложных преобразований выражение для интенсивности рассеянной волны для случая коротких волн приобретает вид:

Первый член этого выражения представляет интенсивность «отражённой» волны, которая концентрируется в основном в обратных направлениях (ф > π / 2), а не в прямых направлениях (ф < π / 2). Второй член даёт интенсивность «тенеобразующего» луча, сосредоточенного в прямом направлении, в пределах угла
(π / ka ) = ( λ / 2а), который тем меньше, чем меньше λ по сравнению с а. Третья часть выражения (29.4) содержит быстро меняющиеся (в зависимости от ф) члены, которые в среднем на конечном угловом интервале дают нуль и потому могут быть отброшены.
Рассеянная мощность. —Общая мощность звука, рассеянного на единицу длины цилиндра, получится умножением на r и интегрирования по ф от 0 до 2 π. Перекрёстные члены в сумме выражения (29.3) уничтожаются благодаря свойству ортогональности характеристических функций соs mф, и получается результат:

Предельное значение полной рассеянной мощности для очень коротких волн равняется мощности, заключающейся в пучке, вдвое более широком, чем цилиндр, т. е. имеющем ширину 4а. Это вызывается обстоятельством, которое мы обсуждали выше, заключающимся в том, что рассеянная волна включает в себя как «отражённую», так и «тенеобразующую» волну (первый и второй члены выражения (29.4)). Интеграл от произведения первого члена на г даёт «отражённую» мощность, которая оказывается равной 2а интеграл же от произведения второго члена на r даёт также 2а ; это показывает, что «тенеобразующая» волна имеет как раз достаточно мощности, чтобы скомпенсировать первичную волну сзади цилиндра.
Величины  нанесены на полярные диаграммы фиг. , причём параметром для различных кривых является величина kа = (2πa / λ). Заметим, что, несмотря на разнообразие характеристик направленности, общая рассеянная мощность выражается совершенно гладкой функцией от (kа). Следует заметить, кстати, что величина II, обычно не измеряется на опыте по причине трудности разделения первичной волны от рассеянной при малых углах рассеяния. Величина, которая обычно измеряется на опыте, ближе всего определяется следующим выражением:

где ∆ — малый угол (если опыт хорошо осуществлён); нулю величина ∆ равняться никогда не может. Оказывается, что Пэксп весьма близко к Пs для случая длинных волн; однако по мере укорочения длины волны «тенеобразующий» луч (второй член в выражении (29.4)) всё менее и менее включается в интеграл и, наконец, при очень коротких волнах Пэксп становится равным Пs. Переход от Пs к ½ Пs происходит при значениях (kа), близких к (π/2∆) или при длинах волн, близких к 4а∆.

Сила, действующая на цилиндр. —Возвращаясь теперь к выражению полного давления, вызванного как начальной плоской волной, так и рассеянной волной, мы после некоторых преобразований находим, что полное давление на поверхность цилиндра в функции угла ф будет равно:

где величины Сm определяются выражениями  . Полученное выражение пропорционально выражению , дающему давление на некотором расстоянии от центра, на поверхности которого колеблется линейный элемент; при сравнении формул следует учесть, что мы должны заменить ф на π - ф, так как теперь направление ф = 0 противоположно направлению на источник. Это — пример принципа взаимности, состоящего в том, что, при прочих равных условиях звуковое давление в точке А в результате действия источника, находящегося в точке В, равно давлению в точке В в результате действия такого же источника, находящегося в точке А. Поэтому полярные кривые на фиг. 65, показывающие распределение интенсивности вокруг цилиндра, на поверхности которого колеблется линейный источник, показывают также распределение квадрата давления на поверхность цилиндра в результате действия линейного источника, находящегося на чрезвычайно большом расстоянии от цилиндра (расстояние должно быть настолько большим, что волна уже может считаться плоской, когда она доходит до цилиндра).

Если μ = kа очень мало (λ > а), то выражение для давления при r = а приводится к виду:

Ясно, что давление приближается к величине давления  одной только плоской волны, если μ стремится к нулю. Полная сила всестороннего давления на единицу длины цилиндра, направленная по линии распространения плоской волны, будет равна

Она отстаёт от давления плоской волны в точке r = 0 (если бы там не было цилиндра) на угол ( -γ1 + π /2). Предельное выражение для малого [х уже применялось в § 13 при разборе вынужденных колебаний струны.
Величина F/Рo даёт полную силу, действующую на единицу длины цилиндра при амплитуде давления плоской волны, равной единице. Величина F\2πа Рo изображена на фиг. (ниже ) в функции от μ.

Мы видим, что при низких частотах сила пропорциональна μ = kа, т. е. частоте, но если μ становится больше единицы (т. е. когда длина волны становится менее, чем окружность цилиндра), линейная зависимость уже не имеет места, и сила начинает уменьшаться с увеличением частоты. Этот результат весьма интересен в связи с теорией ленточного (скоростного) микрофона, состоящего из очень лёгкой металлической ленточки, более или менее открытой доступу воздуха, которую звуковая волна может приводить в колебание. Ленточка помещается в поперечное магнитное поле, так что движение её вызывает индуцированную электродвижущую силу, которая подводится далее к усилителю. Сила давления на полоску не будет, разумеется, изменяться в функции μ, точно следуя уравнению (29.7), выведенному для цилиндра, но общий характер её будет, в общем, таким же. Сила на полоску будет пропорциональна частоте при низких частотах, но эта линейная зависимость теряет свою силу, если длина волны становится меньше удвоенной ширины полоски.
Можно дать приближённый метод определения полной силы давления на цилиндр. Этот метод даёт правильный результат для волн, длина которых больше, чем окружность цилиндра. Если звуковое давление в плоской волне равно  то давление на поверхность цилиндра, вызванное этой волной, будет Если μ мало, го это выражение можно записать приближённо так:

Это есть давление, вызванное действием плоской волны, но имеется ещё и рассеянная волна, существование которой необходимо для того, чтобы радиальная скорость на поверхности цилиндра получилась равной нулю. Эта рассеянная волна внесёт в приближённое выражение давления дополнительный член  , и действительное давление будет выражаться формулой (29.6), а полная сила давления на цилиндр в пределе (при μ→ 0) будет выражаться формулой (29.7). Таким образом, мы видим, что даже при очень длинных волнах искажение плоской волны, вызванное присутствием цилиндра, добавляет множитель 2 в выражении полной силы давления на цилиндр.
Рассеяние звука сферой. — Анализ рассеяния волн сферическим препятствием ведётся совершенно так же, как и анализ рассеяния волн цилиндром. Выражение для плоской волны, распространяющейся вдоль полярной оси вправо, может быть представлено так:

где  и где величины Рm и jm определены соответственно уравнениями (27.7) и (27.12). Выражение для волны, рассеянной шаром радиуса а, центр которого служит началом полярной системы координат, будет:

где углы δm определяются уравнениями  (27.17), выведенными при разборе задачи об излучении шара. Значения некоторых из величин δm даны в таблице

Интенсивность рассеянной волны и полная рассеянная мощность будут

Обсуждение вопроса о рассеянии звука сферой при весьма коротких длинах волн проводится тем же способом, что и для цилиндра; это было нами сделано выше перед формулой (29.4) и после неё. Полная рассеянная мощность в этом случае оказывается равной мощности первичного луча, проходящего через площадь, равную двойной площади поперечного диаметрального сечения сферы πа². Половина этой мощности отражается от сферы равномерно во всех направлениях (первый член —в последнем из выражении (29.10)), другая же половина сосредоточивается узким пучком, который интерферирует с первичным лучом и обусловливает образование тени (второй член в том же выражении). Если измеренная на опыте «общая рассеянная мощность» включает все звуковые лучи в пределах от θ = ∆ до θ = π - ∆, то Пвксп будет равно Пs для длин волн, больших, чем ( 4а / ∆), и будет приближаться к 0.5 Пs для длин волн, меньших, чем ( 4а / ∆).

Фиг.  Полярная диаграмма интенсивности рассеяния звука шаром радиуса а и полная рассеянная мощность П при интенсивности падающей волны, равной единице.

Эта фиг. изображает для различных значений μ = kа полярные характеристики рассеянной интенсивности в функции угла рассеяния θ и кривую полной рассеянной мощности Пs в функции от μ. Как в случае цилиндра, направленность рассеянной волны увеличивается с повышением частоты.

Сила, действующая на сферу. - Полное давление в некоторой точке шара, определяемой полярным углом θ (заметим, что точка θ = 0 является точкой от источника), оказывается равным:

Как и для цилиндра, это выражение пропорционально выражению для звукового давления на больших расстояниях, вызванного действием источника, находящегося на поверхности шара.  Полярная диаграмма на фиг.   показывает, таким образом, зависимость pa² от θ.
Величина давления в точке, ближайшей к источнику звука (θ =π), при действии плоской волны с единичной амплитудой давления, дана па фиг.  в функции μ. Мы видим, что для длин волн, больших, чем окружность шара, давление при θ =π будет равно давлению плоской волны, но при более коротких волнах искажение волны, вызванное наличием шара, приводит к тому, что ра отличается от Ро. Этот вывод имеет общий характер; он относится также и к препятствиям иной формы, чем сферическая, хотя зависимость ра от μ будет несколько иной, чем зависимость, выраженная уравнением (29.12). Вследствие этого микрофон измеряет давление волны, падающей на него только до тех пор, пока его окружность меньше, чем длина волны. При более коротких волнах следует произвести поправку на искажения, вызванные наличием микрофона.
Применяя уравнения  , мы можем найти среднюю величину давления на часть поверхности шара, заключённую между углами θ =π и θ =π - θо

где Р-1 (соs θо) = 1. Пунктирная линия на фиг. (Полярная диаграмма интенсивности рассеяния звука) даёт значения рср/Рo в функции μ для случая θ = 30°. Эта кривая будет использована далее в этой же главе, при рассмотрении свойств микрофона.

Расчёт конденсаторного микрофона. - Как пример использования формул для рассеяния звука, выведенных выше, рассмотрим свойства конденсаторного микрофона, заделанного в сферическом кожухе. Мы должны будем допустить ряд упрощений (которые не соответствуют, строго говоря, действительному положению вещей) чтобы избежать непреодолимых сложностей расчёта. Мы попытаемся всё же учесть значительную долю сложных условий, встречающихся на практике, чтобы показать связанные с ними трудности и роль различных усложняющих факторов.
Первое упрощение, которое мы сделаем, касается формы корпуса микрофона. Мы предположим, что он имеет сферическую форму, так как мы изучили искажение плоской волны, вызванное шаром, но не изучали, например, влияния куба. Действие сферического корпуса достаточно похоже на действие корпуса любой другой формы при одинаковых размерах, ввиду чего результаты, которые мы найдём, можно считать типичными.
Пусть микрофон, который мы рассмотрим, будет конденсаторный микрофон с передней резонансной полостью, устройство которого схематично показано на фиг: 

Радиус сферического корпуса пусть будет 5 см, а радиус мембраны 2,5 см, так что угол при вершине телесного угла, опирающегося на круговое отверстие в поверхности сферы, будет равен 30°= θ. Пусть мембрана помещена на 1,2 см вглубь от поверхности сферы; большее углубление мембраны привело бы к тому, что первый резонанс полости оказался лежащим на слишком низкой частоте. Пространство между пластинами конденсатора примем 0,02 см.

Мы потребуем, чтобы микрофон был достаточно чувствителен к колебаниям с частотой до 8000 гц. Из фиг.  мы видим, что при этом самая низкая резонансная частота мембраны не может быть меньше 4000 гц. Если мембрана сделана из алюминия толщиной в 0,0015 см, то масса мембраны на единицу площади будет составлять 0,005 г/см² и, чтобы получить v01 = 4000 гц, натяжение надо взять равным  Если мы должным образом выберем воздушный зазор сзади диафрагмы, мы сможем сделать постоянную затухания θd равной 3, используя сзади пластинки демпфирующий материал.