Стоячие волны
Стоячие волны — колебания, которые возникают вследствие наложения на прямую волну отраженной, распространяющейся в обратном направлении. В отличие от бегущих волн, стоячие волны не переносят энергии, а точки колеблющейся системы (тела, среды) находятся в одинаковой фазе колебания, но с разными амплитудами. Образующиеся пучности и узлы разделены расстоянием, равным 1/2 длине волны.
Нормальные виды колебаний
Если при простых расчётах распространения звуковой волны предполагается открытое пространство, и подразумевается, что нет никаких препятствий, мешающих её свободному распространению. В большинстве случаев, однако, звук возникает в помещении не особенно большого размера, так что волны отражаются от стен много раз в секунду. Когда устанавливается такой процесс, мы уже не можем сказать, что все существующие волны излучаются источником; скорее мы должны сказать, что источник приводит воздух в помещении в колебательное движение, возбуждая одну или несколько нормальных мод данного объёма.
Эти соображения делают необходимым значительно изменить наше представление о картине распределения интенсивности около звукового источника. Мы не можем ожидать, например, что в данном случае интенсивность будет изменяться обратно пропорционально квадрату расстояния от источника; часто в помещениях интенсивность около некоторых точек, удалённых от источника, может быть значительно больше, чем в промежуточных точках. Нельзя ожидать также, чтобы интенсивность звука в данной точке помещения была связана простым соотношением с мощностью, излучаемой генератором звука. Механические свойства громкоговорителя, его механический и электрический импеданс и полная излучаемая мощность не будут практически изменяться в зависимости от свойств помещения, но интенсивность получающегося звука и распределение этой интенсивности в помещении будут сильно меняться.
Развиваемая нами далее точка зрения на сущность задачи распространения звука в помещении состоит в следующем. Мы смотрим на воздух в объёме помещения как на совокупность резонаторов в форме стоячих волн, которые могут быть возбуждены источником и будут затухать экспоненциально, если действие источника прекращается. Если источник только начинает действовать, то ложно формально считать, что в помещении возникает сложный колебательный процесс, состоящий из суммы стационарных колебаний, имеющих частоту источника, и затухающих переходных колебаний, имеющих частоты тех нормальных мод, которые окажется возбуждёнными. Стационарное (установившееся) колебание можно рассматривать как сумму большого числа стоячих волн (подобно тому как вынужденное колебание струны может быть представлено в форме суммы членов ряда Фурье), у которых амплитуды зависят от частоты источника, от «импеданса» для данной стоячей волны и от положения источника в помещении. Переходные процессы должны быть выражены в такой форме, которая удовлетворяла бы начальным условиям в помещении в момент, когда источник приведён в действие; они будут поэтому также состоять из суммы многих стоячих волн, причём каждая из мод, составляющих суммарное переходное колебание, будет иметь свою собственную частоту. Эти частоты мы будем изучать в настоящем параграфе.
После того как переходные колебания затухнут, оставшиеся стационарные колебания будут иметь только частоту источника. Мы будем изучать в § 34 форму этих колебаний, чем они отличаются от свободного излучения источника в открытое пространство и как они могут быть составлены из суммы стоячих волн.
Когда источник выключается, стоячие волны сразу не исчезают, их энергия трансформируется в энергию переходных колебаний, которые имеют свои собственные частоты и по выключении источника начинают затухать но экспоненциальному закону, свойственному свободным колебаниям; в некоторых случаях они интерферируют друг с другом, образуя биения.
С другой точки зрения, помещение является передатчиком звука от исполнителя к слушателю; если можно так выразиться, оно является обобщённым рупором. С этой точки зрения помещение должно иметь скорее качества рупора, чем музыкального инструмента. Другими словами, оно должно передавать все частоты одинаково хорошо, и переходные процессы не должны существенно искажать звук. Это, конечно, может быть достигнуто покрытием стен и потолка совершенным звукопоглотителем, в результате чего они не будут отражать звук обратно в помещение. Но если это сделать, то теряется эффект усиления звука за счёт отражений, и мощность источника придётся значительно увеличить, поскольку мы должны получить хорошую слышимость по всему помещению. В открытом пространстве сила звука точечного источника убывает обратно пропорционально квадрату расстояния; это даёт на расстоянии 30 м от источника уровень силы звука на 20 дб меньший, чем на расстоянии 3 м. В правильно построенном зале возможно получить на том же расстоянии уровень силы звука, меньший всего на 5 дб, а не на 20 дб, как в открытом пространстве. Задача инженера в области архитектурной акустики заключается в таком выборе формы помещения и акустического импеданса стен и потолка, чтобы помещение служило, насколько возможно, равномерной системой для передачи звука и в то же время не теряло полностью эффекта усиления звука за счёт отражения его от стен.
Статистический анализ для высоких частот. - Далее, в этом параграфе мы увидим, что при низких частотах помещение имеет в данной полосе частот небольшое . число резонансных частот, в области же высоких частот число резонансных частот в той же полосе становится большим. Звук, имеющий длину волны порядка размеров помещения, будет возбуждать в помещении небольшое число стоячих волн (различных мод колебания), тогда как высокочастотный звук с длиной волны, малой по сравнению с размерами помещения, возбудит сотни различных стоячих волн. Несомненно, что методы расчёта, которые легко применить для низкочастотных звуков, трудно применять для высоких частот, и наоборот. Разница здесь, в принципе, такова же, как между методами статистической механики, которая имеет дело с большим числом тел (частиц), и методами обычной механики, которая детально описывает движение одного или вообще небольшого числа тел.
Статистический случай в акустике помещений, который мы имеем при высоких частотах, наиболее прост с точки зрения анализа и является обычно наиболее важным для практики. В этом случае источником возбуждаются сотни нормальных мод колебания помещения; при этом звук обычно весьма равномерно распределяется по помещению и распространяется по всем направлениям. Когда достигается стационарный режим, звук в некоторой точке помещения может быть представлен как сочетание большого числа плоских волн, имеющих одну и ту же частоту, задаваемую источником, и распространяющихся во всевозможных направлениях:
где k - волновой вектор, имеющий величину k = w / c и показывающий направление распространения волн, задаваемых углами θ и ф в сферических координатах; вектор r соединяет начало координат с точкой (х, у, z), в которой исследуется давление р(х, у, z); kr — скалярное произведение k и r, равное kr соs θ.
Величина А даст амплитуду и фазу отдельной плоской волны давления, имеющей направление (θ, ф) в точке (х, у, z). Вообще говоря, А является функцией координаты (х, у, z) и направления (θ, ф) данной волны, если учитывать то обстоятельство, что составляющие плоские волны обычно не вполне равномерно распределены в пространстве и по направлению. Средняя плотность звуковой энергии W (х, у, z) в точке (х, у, z) пропорциональна квадрату А, усреднённому по всем направлениям, которые принимают k:
учитывая, что плотность энергии в плоской волне равна |А|² / 2рс².
Сила (интенсивность) звука в этом случае определяется как общий поток энергии в секунду через квадратный сантиметр площади. Следует заметить, что это определение не идентично с определением интенсивности плоской волны.
Пусть Ф — угол падения плоской волны 
на рассматриваемый квадратный сантиметр площади. Поток энергии через квадратный сантиметр в направлении, перпендикулярном к k, равен (1/2рс) • |А|²; поток же через квадратный сантиметр для волны, приходящей под углом Ф, будет (1/2рс) • |А| 2соsФ. Общий поток энергии получится из выражения
которое даст, вообще говоря, величину, зависящую от ориентации данного квадратного сантиметра, так как А является функцией направления.
Условие удовлетворительности дангого помещения для целей слушания звука обычно заключается в том, чтобы А было, по возможности, независимо от θ, ф , х, у, z. Неравномерность в распределении величины А вызывает неприятную нерегулярность интенсивности звука в помещении. Оказывается, что увеличение нерегулярности формы (неровность) всех поверхностей, ограничивающих помещение, приводит к более равномерному распределению звука в помещении. Это происходит потому, что нерегулярности ограничивающих поверхностей приводят к рассеянию звука во всех направлениях, в особенности, если нерегулярности структуры того же порядка, как длина волны. Гладкие вогнутые поверхности приводят к неравномерности распределения звуковой энергии, так как они вызывают фокусировку волн и дают в некоторых местах увеличенную плотность звуковой энергии и ясно выраженную направленность потека энергии. Даже гладкие плоские стены, как мы увидим далее, являются нежелательными.
Предельный случай равномерного распределения. Диффузное звуковое поле. — Простейшим для анализа является тот случай, когда плотность звуковой энергии и интенсивность равномерно распределены по помещению. Такого рода звуковое поле носит название диффузного. Этот случай редко полностью реализуется на практике, но для него, как мы выше указали, целесообразно произвести приближённый анализ. Мы примем, что помещение достаточно велико и, следовательно, звук источника возбуждает большее число различных мод колебания помещения; примем также, что стены и потолок помещения имеют достаточно нерегулярную (неровную) структуру, так что звук рассеивается в помещении равномерно по всем направлениям; допустим, кроме того, что на стенах имеется достаточно поглощающего материала, в результате чего звук «не слишком долго» замирает после выключения источника; что понимается под словами «не слишком долго», будет пояснено ниже.
В этом случае амплитуда А отдельных составляющих плоских волн не зависит от (х, у, z) и (θ, ф), и мы получим для плотности энергии величину
которая не зависит от (х, у, z) даже и во время переходных процессов. Для интенсивности звука получим:
независимо от направления.
Итак, мы допустим, что плотность энергии и интенсивность остаются по всему помещению однородными, даже во время переходных процессе в. Это очень редко осуществляется в действительных помещениях, но в акустически совершенных помещениях мы имеем приближение к осуществлению этих условий. Соблюдение этих условий позволяет с наибольшей простотой производить вычисление интенсивности звука, так как нам не надо учитывать зависимость амплитуды от (θ, ф), и можно ограничиться вычислением средних значений 
и w. Наше допущение соответствует тому, что w всегда равно 4Т/с, даже если w и являются функциями времени.
Чтобы определить, как w и зависят от времени и от мощности источника в простейшем случае, мы должны составить уравнение баланса энергии в помещении. Мощность звука, поступающая от источника в помещение, П(t), может быть функцией времени t.
Звуковая энергия теряется благодаря превращению звука в тепло в воздухе и на поверхностях помещения. При высоких частотах (выше 6000 гц) воздух может поглощать достаточно большое количество звуковой энергии, в особенности при незначительной величине влажности. Но ниже примерно 2500 гц наибольшее количество энергии поглощается на ограничивающих поверхностях помещения, и мы можем пренебречь поглощением воздуха. Каждая часть стены, пола или потолка поглощает некоторую долю звуковой энергии, падающей на неё, и, поскольку мы приняли, что интенсивность распределена равномерно, мы можем предположить, что потеря энергии на поверхностях пропорциональна площади данного участка поверхности и мгновенному значению интенсивности (t).
Коэффициент поглощения. — Доля падающей энергии, которая поглощается данным участком поверхности, зависит от физических характеристик этой поверхности (т. е. от её импеданса) и от распределения звука в помещении (т. е. от зависимости А от θ и ф). Если А не зависит от θ, ф, как мы допустили выше, доля мощности звука, теряемая при отражении, зависит только от свойств поверхности и называется коэффициентом поглощения (σ) материала. Соотношение между а и удельным акустическим импедансом материала будет обсуждено несколько позже, после того, как мы выведем уравнение баланса звуковой энергии. Величины коэффициентов поглощения а для различных материалов при различных частотах приведены в табл. XIII в конце книги.
Сумма произведений коэффициентов поглощения а материалов, покрывающих определённый участок поверхности стен (пола или потолка) помещения на величины соответствующих площадей этих участков Аs называется поглощением а помещения
Легко видеть, что полная мощность звука, теряемая за счёт поглощения на поверхностях (в том случае, когда звук распределён в помещении равномерно), будет равна а. Полная энергия звука в помещении в некоторый момент времени равна произведению объёма помещения V на плотность звуковой энергии (W = 4 /с). Следовательно, уравнение баланса звуковой энергии (для равномерного распределения звука и для частот, лежащих ниже 5000 гц) будет
Реверберация. — Решение этого уравнения может быть написано в следующем виде:
Это решение показывает, что интенсивность в данный момент времени зависит от мощности II (t), которую развивал источник в течение предшествующих (4V/aс) секунд, но очень мало зависит от величины мощности, излучавшейся источником до этого времени, так как величина экспоненциального выражения, входящего под интеграл, за этот период времени оказывается мала. Если мощность П изменяется со временем медленно, т. е. даёт заметные изменения за промежуток времени, большой по сравнению с (4V/aс), то интенсивность будет приблизительно пропорциональна П, и уравнение (32.6) примет вид:
уровень интенсивности 
если П выражено в эрг/см², а а —в квадратных сантиметрах. Если II выражено в ваттах, а а—в квадратных футах, то уравнение примет форму:
уровень интенсивности 
Этот результат легко получить из уравнения (32.5), так как если (dП/dt) мало, то величиной d (4V/с)dt можно пренебречь и положить а = П. Интенсивность будет в этом случае обратно пропорциональна полному «поглощению», и для того чтобы получить в стационарном состоянии большую интенсивность звука, надо взять малое а.
С другой стороны, если П сильно меняется за время, малое по сравнению с (4V/ас), то интенсивность не будет успевать следовать за изменениями П, и звук будет «размазан». Если, например, звук внезапно выключается в момент t = 0, то в дальнейшем интенсивность будет выражаться следующим законом:
уровень интенсивности 
«Размазывание» быстрых колебаний мощности звука, даваемых источником, носит название реверберации. Явление это связано с тем, что уровень интенсивности в помещении не падает мгновенно до нуля при выключении источника, а спадает по линейному закону со скоростью 4,34 (ас/4V) дб в сек. Эта линейная зависимость уровня интенсивности от времени типична для помещений с равномерным распределением звуковой энергии. Далее в этой главе мы рассмотрим более сложные явления из той же области.
Время реверберации. — Наклон прямой линии, изображающей спадание уровня интенсивности в функции времени после выключения источника, указывает степень точности, с которой помещение следует за изменениями мощности источника. Время, в течение которого уровень интенсивности спадет на 60 дб (в миллион раз), называется временем реверберации Т. Если размеры выражены в метрах, то это время равно
Если мощность источника меняется медленно по сравнению с Т, то интенсивность звука достаточно точно следует за колебаниями мощности. Но если мощность источника сильно меняется за промежуток времени, меньший чем 0,1 времени реверберации, то интенсивность звука в помещении не успевает следовать за колебаниями мощности источника.
Таким образом, для совершенной передачи звукового материала, связанного с резкими колебаниями мощности источника (что практически почти всегда имеет место), время реверберации помещения должно быть сделано небольшим. Для выполнения этого требования поглощение а следует сделать большим; это находится в противоречии с требованиями большой интенсивности в стационарном состоянии, для чего а должно быть мало. Между этими Двумя противоположными требованиями приходится выбрать некоторый компромисс, причём приходится учитывать размеры помещения. Для малых помещений (V ≈ 300 м³) Т можно выбрать порядка 1 сек., и при этом средняя интенсивность в помещении будет достаточно велика. Для больших помещений (V ≈ 30 ООО м³) Т приходится брать порядка 2 сек., чтобы получить достаточно высокую среднюю интенсивность звука в помещении. Если помещение используется главным образом для речи, где мы имеем быстрые колебания мощности, то следует взять время реверберации 2/3 от указанного; при этом в больших помещениях приходится прибегать к усилению и передавать речь громкоговорителем. Если помещение используется главным образом для музыкального исполнения, то можно без ущерба допустить несколько большую реверберацию, так как музыка звучит в помещении неудовлетворительно, если в нём не хватает реверберации.
Таким образом, анализ разобранного нами упрощённого случая указывает характер компромисса между силой звука и поглощением, который приходится сделать для любых помещений, даже если звук неравномерно распределён по помещению. Анализ этот указывает также, что полезным критерием однородности распределения звука в помещении является форма кривой затухания звука после того, как источник выключен. Если это —прямая линия (в масштабе децибел), то есть основание считать, что звук весьма равномерно «размешан» по помещению; но если это кривая, то уверенно можно считать, что звук распределён неравномерно или в пространстве, или по направлению, или и то и другое вместе.
Коэффициент поглощения и удельный импеданс. — Прежде чем закончить обсуждение идеализированного случая равномерного распределения звука, мы должны вывести соотношение между удельным акустическим импедансом материала, покрывающего стены (потолок, пол) помещения, и коэффициентом поглощения а. Как установлено выше, коэффициент поглощения есть средняя доля мощности, поглощаемая материалом, покрывающим стену, когда звук падает на неё со всех сторон равномерно. Чтобы найти это среднее, вернёмся назад к разбору понятия амплитуды А (θ, ф). Предположим, что мы выбрали θ и ф так, что полярная ось перпендикулярна к стене (предполагаемой плоской) а θ представляет угол падения волны с амплитудой А(θ, ф). В случае, который мы сейчас рассматриваем, А не зависит от ф, и звуковая мощность, падающая на единицу площади стены, будет:
Но из уравнения (30.7) мы можем вывести, что доля мощности, теряемая волной, падающей под углом θ при отражении от плоской поверхности с удельным акустическим импедансом z, т. е. с безразмерной акустической проводимостью η = х - iσ, будет равна
Следовательно, среднее значение а, которое приходится принимать в расчёт при равномерном распределении звука, следующим образом выразится через безразмерную активную (х) и реактивную (σ) проводимость:
Значения а в зависимости от величины безразмерного акустического импеданса (в единицах рc) 
определяются из графика на листе 
График показывает, что максимальное значение коэффициента поглощения а (а = 0,96) получается при условии, что удельный импеданс является чисто активным и имеет величину, немного большую чем рс(
= 1,25). По мере того как импеданс возрастает или убывает по сравнению с этой величиной, коэффициент поглощения убывает и при очень больших значениях становится приблизительно равен 8х = 8θ (θ² + x²). Не существует таких пар величин х и σ, при которых величина а была бы равна нулю. Плоская волна может быть полностью поглощена материалом с подходящей величиной импеданса. Диффузная смесь плоских волн полностью поглощена быть не может ни в каком случае.
Таким образом, если помещение так построено, что звук в нём распределён достаточно равномерно (для чего оно должно иметь нерегулярные по форме ограждающие поверхности, обладать достаточным поглощением, кроме того, это возможно лишь при достаточно высоких частотах), то акустические свойства помещения выражаются уравнениями (32.6), (32.7) и (32.8), а переходные процессы, возникающие при изменениях мощности источника, вполне характеризуются временем реверберации; средний коэффициент поглощения отдельных поверхностей, входящий в указанные выше уравнения, связан уравнением (32.10) с физическими постоянными материала, покрывающего эти поверхности.
Однако, если звук распределён в помещении неравномерно, то уравнения (32.6) — (32.8) не будут справедливы и уравнение (32.10) для коэффициента поглощения не будет приложимо самое понятие о среднем коэффициенте поглощения не будет иметь определённого смысла. Чтобы исследовать этот менее идеализированный (но часто встречающийся) случай, мы должны возвратиться к исследованию отдельных стоячих волн в помещении.
Стоячие волны в прямоугольном помещении. — Вначале мы рассмотрим предельный случай другого рода, когда помещение ограждено совершенно твёрдыми, полностью поглощающими поверхностями. В этом случае можно заранее сказать, что звук не будет распределен равномерно. Для простоты мы рассмотрим прямоугольное помещение, стороны которого равны lх,ly,lz, и заметим, что граничное условие для случая твёрдых стен будет состоять в том, что колебательная скорость для волн в воздухе в направлении нормали к стене равна нулю.
Волновое уравнение в прямоугольных координатах имеет вид:
Если мы выберем начало координат в середине помещения, то стоячие волны должны быть симметричны или антисимметричны относительно начала. Решение волнового уравнения имеет вид:
где можно пользоваться как косинусом, так и синусом. В любом случае звуковое давление будет иметь максимум, как при х = lх /2, так и при х= -lх /2 и аналогично по другим осям. Скорость в направлении х будет равна:
Она должна обращаться в нуль при х = ± lх/2. Чтобы функция синуса, отвечающая функции косинуса в волне давления, обращалась в нуль при х = + lх/2, wx должно принимать следующие значения:
В этом случае и будет тоже равно нулю при х = - lх /2. Чтобы функция косинуса, отвечающая функции синуса в волне давления, обращалась в нуль при х = ± lх/2,
Поэтому фундаментальными функциями для прямоугольного помещения будут функции, определённые уравнениями (32.11) со следующими характеристическими значениями величин w:
Когда nх - чётное число, в выражении для р берут соs (wx x / c ) когда nх нечётно, то берут sin (wx x / c ) также поступают для ny и nz.
Нормальные виды колебания, соответствующие какому-либо частному ряду значений nx,ny, nz могут быть получены, если мы зададим движение в форме одной из плоских волн, бегущей
в направлении, определяемом тремя косинусами wx / w, wy / w, wz / w, (направляющие косинусы), и претерпевающей отражения от противоположных стен до тех пор, пока не образуется стационарная стоячая волна. Если значения wx, wy, wz и w = 2πv связаны с nx,ny, nz одной из формул (32.12), то отражённые волны будут складываться так, что результирующее движение будет выражаться в функции пространственных координат простым гармоническим законом.
Распределение нормальных видов по частоте. — Вторая строка формул (32.11) делает очевидным, что v можно рассматривать как векторе компонентами (wx / 2π ), (wy / 2π), (wz / 2π ). Направление этого вектора даёт направление плоской волны, образующей стоячую волну, а длина вектора - частоту. Каждая нормальная мода колебания может поэтому рассматриваться как точка в «пространстве частот», у которой координата х измеряется целым числом в единицах длины (с/2lх), а координаты у и z измеряются целым числом в единицах длины (с/2ly) и (с/2lz). Длина линии, соединяющей эту точку с началом координат, равняется частоте данной нормальной виды колебания, а направление этой линии указывает направление плоской волны, которая приводит к образованию соответствующей стоячей волны. Некоторые из этих характеристических точек в «пространстве частот» указаны на фиг:
и можно видеть, что они соответствуют узлам пересечения прямоугольной пространственной решётки с размерами ячеек по осям, х, у и z, соответственно равными (с/2lх), (с/2ly) и (с/2lz). Можно также видеть,
что частоты всех нормальных мод изображаются точками внутри телесного угла, лежащего между положительными осями vx vy vz, ибо любая из плоских волн частоты v с направлением соответственно
будет образовывать при отражении одинаковую стоячую волну. Такая картина решётки характеристических точек в пространстве частот чрезвычайно полезна при изучении числа и вида нормальных мод колебания, имеющих частоты, лежащие внутри заданного интервала. Так как имеется (8vo/с³) ячеек решётки на единицу объёма пространства частот (объём ячейки V0=lхlуlz), то будет существовать в среднем (8vo/с³) (πv³/6) нормальных мод, имеющих частоту, равную или меньшую, чем v (множитель πv³/6 равен объёму одной восьмой части сферы радиуса v). Действительное же число различных мод, имеющих частоту, меньшую чем v, меняется с увеличением у нерегулярно, так например, оно равно нулю до тех пор, пока vне станет равным наименьшей из трёх величин (с/2lх), (с/2ly) и (с/2lz), и тогда оно сразу становится равным единице и т. д.
Аксиальные, тангенциальные и косые волны. Заметим, что волны, распространяющиеся «параллельно» стене, в меньшей степени подвержены её действию (например, меньше поглощаются ею), чем волны, падающие на стену под косым углом. Мы разобьём все стоячие волны на три категории и семь классов:
I. Аксиальные волны (для которых два из индексов л равны нулю):
1. х-аксиальные волны, параллельные оси х (n ,nz = 0),
2. y-аксиальные волны, параллельные оси у (nx,nz = 0),
3. z-аксиальные волны, параллельные оси z(nx,ny= 0).
II. Тангенциальные волны (для которых один индекс n равен нулю):
4. у,z-тангенциальные волны, параллельные плоскости уz (nх=0),
5. х, z-тангенциальные волны, параллельные плоскости хz(ny = 0),
6. х, y-тангенциальные волны, параллельные плоскости ху (nz =0).
III. 7. Косые волны (для которых ни один индекс не равен нулю).
Оказывается, что даже в первом приближении волны различных классов имеют различное время реверберации и что в первом приближении волны одного и того же класса (с приблизительно равными частотами) имеют одно и то же время реверберации.
Следовательно, для нас будет весьма важно знать число стоячих волн данного класса, имеющих частоту, меньшую чем v. В этом случае снова полезно воспользоваться представлением решётки в «пространстве частот». Для аксиальных волн узлы решётки будут расположены на соответствующих осях «пространства частот», а для тангенциальных волн они будут расположены на соответствующих координатных плоскостях. Число узлов решётки может быть легко подсчитано; можно, например, подсчитать «сглаженное среднее» число узлов решётки, соответствующее частотам, лежащим в некоторых пределах.
Сделаем, например, подсчёт для случая, когда источник излучает тональный импульс с частотой vo и длительностью ∆t. Согласно уравнению 
, если мы хотим, чтобы импульс был передан в помещение без заметного искажения его формы, то в интервале частот от v0 - (∆v/2) до v0 + (∆v/2), где ∆v = 1/∆t, должно лежать «достаточное число» частот стоячих волн, которые будут «нести» звук; оказывается, что «достаточное число» составляет более чем 10. Если, например, мы хотим, чтобы в помещении достаточно отчётливо передавался тональный импульс длительностью в 0.1 сек., то мы должны подсчитать
число резонансных частот в интервале от vo - 5 до vo + 5. Если для данного значения частоты это число меньше, чем 10, то импульс с частотой vo и длительностью 1/10 сек. не будет передан в помещение без искажения. Если число резонансных частот более 10 и если, кроме того, время реверберации для всех стоячих волн меньше, чем, приблизительно, одна секунда, то импульс будет передан достаточно совершенно. Фиг. изображает кривую (ломаная линия), которая представляет результат подсчёта числа резонансных частот в интервале vo ± 5 Для прямоугольного помещения с размерами 3 * 4,5 * 9 м. Из этой кривой ясно, что импульс длительностью в 1/10 сек. не будет точно воспроизведён в этом помещении, если частота будет ниже 150 гц.
Усреднённые выражения для числа допустимых частот. — Подсчет числа допустимых частот, лежащих ниже известной частоты или в заданной полосе частот является довольно кропотливой работой и потому полезно вывести «сглаженные» выражения для средних значений. Такого рода подсчёт можно сделать, считая, что каждая точка в пространстве частот «занимает» элементарную прямоугольную ячейку со сторонами (с/2lх), (с/2ly) и (с/2lz), причём узел решётки находится в центре этой ячейки. Тогда среднее число точек может быть получено делением объёма рассматриваемой части пространства частот на объём элементарной ячейки (с/2lх) * (с/2ly) * (с/2lz) = (с³/8V) где V = lx,ly,lz есть объём помещения.
Таким способом мы можем подсчитать число допустимых частот, лежащих ниже некоторой частоты v, для волн различных классов. Среднее число ж-аксиальных волн получится делением числа vна интервал с/2lх между отдельными узлами решётки на оси х, т. е. будет равно 2vlx/с (иными словами, оно равно числу элементарных ячеек в стержне с поперечным сечением с²/2lх lz и длиной v). Среднее число всех аксиальных волн с частотами, меньшими v, будет равно
где L = 4 (lx + ly + lz), представляет сумму длин всех сторон (рёбер) помещения.
Среднее число у, z-тангенциальных волн есть число элементарных ячеек в четверти диска толщины с/2lх и радиуса v, за вычетом поправки, учитывающей число аксиальных волн, которые уже были подсчитаны выше. Эта поправка в объёме равна половине пространства, «занятого» узлами у- и z-аксиаль-ных волн, т. е.
Множитель половина входит потому, что только половина объёма, «занятого» точками аксиального класса волн, лежит в пределах углового сектора, образуемого осями у и z, которые охватывают рассматриваемую нами четверть диска. Таким образом, среднее число у,z-тангенциальных волн, имеющих частоту меньше v, будет равно
Среднее число всех тангенциальных волн с частотами меньше v
где А = 2 (lxly + lxlz + lylz) представляет полную площадь всех стен (граней) помещения. Мы пренебрегли поправками, возникающими благодаря перекрытию вблизи начала (v = 0), так как они независимы от v и малы по величине.
Объём, «занятый» точками решётки, относящимися к классу косых волн, для частот, меньших v, равен объёму сферического октанта (1/8 часть полного объёма сферы) минус объём, уже учтённый при подсчёте волн других классов
Истинная величина N колеблется в сторону, большую или меньшую, около значения, даваемого выражением (32.13), но редко отступает от него более, чем на одну-две единицы, если только помещение не имеет слишком симметричной формы; этот случай будет разобран несколько далее.
Среднее число допустимых частот в полосе частот. —Число стоячих волн с частотами, лежащими в интервале от v до v+ dv, получается дифференцированием приведённых выше выражений:
Значение для dN получаемое из этой формулы для dv = 10, начерчено пунктирной линией на фиг. для прямоугольного помещения с размерами 3*4,5*10 м. Мы видим, что эта кривая даёт хорошее «сглаживание» ломаной линии, представляющей график точного значения числа стоячих волн в интервале v± 5. При очень высоких частотах оказывается существенным только член, пропорциональный V². Таким образом, мы можем считать, что среднее число допустимых частот, лежащих в интервале dv при высоких частотах, возрастает пропорционально квадрату частоты. Если мы примем, что средняя интенсивность звука в помещении (для источника постоянной мощности) пропорциональна числу стоячих волн, которые «несут» звук (в пределах полосы частот, излучаемой источником), темы придём к заключению, что интенсивность звука возрастает при высоких частотах пропорционально квадрату частоты, согласно выражению (32.14). Это очень интересный вывод, так как известно, что мощность, излучаемая точечным источником в свободное пространство, согласно уравнению 
, пропорциональна V². Таким образом, мощность, передаваемая от источника к приёмнику, в помещении зависит от частоты в среднем так же, как и в открытом пространстве; но плавный ход возрастания мощности нарушается отклонениями (как это видно из фиг. для случая полосы в 10 гц), которые вызваны флуктуацией числа стоячих волн в полосе частот, излучаемых источником. Эти нерегулярности частотной характеристики помещения тем более резко выражены, чем более симметрична форма помещения и чем ;уже полоса частот, излучаемых источником.
Если dN по формуле (32.14) становится равно двум или менее, то флуктуации становятся так резки, что сни существенно ухудшают качество передачи звука. Для помещения, к которому относится фиг. 89, этот нижний предел для полосы частот в 10 гц равен примерно 50 гц; для полосы в 5 гц он будет равен примерно 100 гц и т. д.
Влияние симметрии помещения. — Выше мы подчёркивали неоднократно, что частотная характеристика помещения, которая выражается точной кривей для dN, оказывается более неравномерной при большей симметрии помещения. Это вызывается увеличением числа вырожденных мод колебания, т. е. стоячих волн с различными индексами n, но имеющих ту же частоту. Как пример вырождения мы можем рассмотреть ряд помещений с размерами lx,ly = q lx, lz = lx/q, выбранных так, что объём их V = lx³ остаётся постоянным, но относительные размеры сторон меняются при изменении q. Собственные частоты выразятся формулой
Интервалы между частотами меняются в зависимости от величины q. Мы можем, например, выписать наинизшие собственные частоты для двух помещений, одно из которых соответствует q = 1 и является кубом, а другое соответствует q = 2 и является прямоугольным параллелепипедом, т. е. оказывается менее симметричным по форме.
Таблица даёт собственные частоты и комбинации целых (квантовых) чисел (nx,ny,nz), которые определяют соответствующие фундаментальные функции для этих двух случаев.
Из таблицы мы сразу замечаем, что в кубическом помещении характеристические (собственные) частоты имеют тенденцию «сливаться». Тройные и даже шестикратные вырождения (слития) встречаются в области подсчитанных, сравнительно низких, частот (например, 2,236 и 3,000). В результате такого слития появляются большие интервалы, в которых нет собственных частот; в этих областях частотная характеристика передачи звука будет весьма нерегулярна. Наоборот, в случае q² = 2 в рассмотренной области частот никогда не наблюдается более чем двукратное вырождение, и значения собственных частот, вследствие этого более равномерно распределены по частотной шкале. Заметим, что благодаря равенству объёмов двух помещений число собственных частот, равных или меньших, чем (Зс/2l), оказывается для них приблизительно одинаковым (28 в одном и 27 в другом случаях), но частные значения комбинации квантовых чисел (nx, ny,nz) и положение на шкале частот соответствующих собственных частот — различно. Если бы мы взяли иррациональное значение для q² (например, то мы вообще не имели бы вырождения, и собственные частоты расположились бы по шкале частот ещё более равномерно. В случае прямоугольного помещения, конечно, мы никогда не можем получить абсолютно равномерного распределения собственных частот, поскольку ячейки в «частотном пространстве» всегда остаются прямоугольными параллелепипедами, и углы решётки располагаются упорядоченно. Помещение с неправильными (нерегулярными) стенами будет давать более беспорядочное расположение углов решётки в «частотном пространстве» и потому может иметь более равномерную частотную характеристику.
Непрямоугольные помещения. — Наш анализ стоячих волн до некоторой' степени зависел от того обстоятельства, что мы выбрали для изучения прямоугольные помещения. Это ограничение не особенно существенно, так как большинство помещений имеет приблизительно прямоугольную форму. Конечно, было бы более удовлетворительно показать, что формулы (32.13) и (32.14) сохраняют силу для помещений любой формы. Однако по ряду соображений этого нельзя сделать. Прежде всего заметим, что хотя нетрудно обобщить смысл величин V (объём) и А (площадь стен) для помещений любой формы, для величины L (полная длина ребер или сторон) это уже представляет проблему. Например, если L для цилиндрического помещения равно в точности 4πR, то что представляет собой L для помещения в форме восьмигранной призмы, в форме многогранной призмы с большим числом сторон, или для сферического помещения?
Во-вторых, становится всё более и более трудно определить, что представляют собой аксиальные и тангенциальные волны для помещения, форма которого делается более и более сложной. Этим подчёркивается, что однородность структурных форм помещения и однородность поведения волн находятся во взаимном соотношении. Если помещение достаточно нерегулярно по форме и структуре своих поверхностей, то все волны должны считаться косыми.
Чтобы выяснить, как следует ответить на поставленные вопросы в случае непрямоугольного помещения, мы рассмотрим цилиндрическое помещение с круглым полом и потолком радиуса а и высоты l. Решение волнового уравнения в цилиндрических координатах имеет вид:
где z = 0 соответствует уровню пола помещения. Свойства функций Бесселя Jm выражаются формулами 
. Чтобы z - компонента скорости частиц среды при z = 0 и z= l равнялась нулю, мы должны приравнять нулю производную от p по z при этих значениях z. Эта производная уже равна нулю при z = 0, поскольку мы выбрали функцию соs (wz z/c) для зависимости р от z чтобы она равнялась нулю при z = l мы должны положить (wz l/ c) = nz π (nz = 0, 1, 2, 3 ...). Чтобы получить нулевую скорость частиц на цилиндрических стенках, мы должны положить d Jm / dr = 0 при r = a. Для выполнения этого условия мы должны положить wra / c = π amn, где amn - решение уравнения (dJm(πa)) / da = 0. Фундаментальные функции для цилиндрического помещения будут иметь форму выражений (32.15), а характеристические числа будут
Значения аmn даются в таблице 
Если l не длиннее, чем 1,71а, то мода колебаний с наинизшей частотой будет представлять поперечное колебание с узловой диаметральной плоскостью; при этом воздух «качается» из стороны в сторону поперёк цилиндра.
Далее перед нами становится задача определить «аксиальные» и «тангенциальные» волны. Для z-аксиальных волн вопрос достаточно ясен; они соответствуют значениям m= n= 0 и движение волн параллельно оси z. Равным образом волны, для которых nz = О, несомненно, параллельны плоскости пола (или потолка) и могут быть, пожалуй, названы, по аналогии со случаем прямоугольного помещения, ф-, z-тангенциальными волнами.
Волны, для которых движение точно радиально (параллельно r) и nz= m = 0, создают фокусировку звука по оси цилиндра; их можно назвать r-аксиальными волнами, хотя они не параллельны ни одной из стенок. Волны, для которых nz = n = О распространяются в основном в соседстве с искривленными стенками цилиндра и дают лишь небольшое движение частиц вблизи от оси. Эти волны можно назвать ф-аксиальными волнами, хотя движение частиц воздуха не происходит целиком в ф-направлении (т. е. перпендикулярно к r и z).
В следующем параграфе мы покажем, что r-аксиальные волны в наименьшей степени поглощаются акустическими материалами, расположенными на боковой поверхности цилиндра, тогда как ф-аксиальные волны поглощаются наиболее сильно. Исключая случай m= 0, каждая мода колебаний отвечает двойному вырождению, соответственно двойственности в выражении фундаментальной функции. Это можно формально выразить допущением для m как положительных, так и отрицательных значений, причём отрицательные значения соответствуют случаю cosmф, а положительные—случаю sin mф (считается, конечно, что a-mn = amn).
Распределение частот для цилиндрического помещения. - Некоторый произвол допускается в данном случае уже при самом выборе типа решётки в пространстве частот. Стоячие волны составляются из волн, имеющих компоненты во всех направлениях, перпендикулярных к оси z, так что не существует определённого направления, которое соответствовало бы вектору vm, vn , vnz как это былов случае прямоугольного помещения. Чтобы быть совершенно точными, мы должны были бы изображать каждую волну этого типа частью окружности в частотном пространстве, в соответствии с тем, что цилиндрическая волна составляется из плоских волн, имеющих всевозможные направления. Однако формально, мы можем произвольно выбрать симметричную сетку точек в (vx,vy) плоскости (каждая из плоскостей находится на соответствующем расстояния от начала), которая может представить все собственные частоты.
Возможное представление даётся, например, на фиг., где r-аксиальные волны (m = 0) лежат вдоль главной диагонали, а дважды вырожденные ф-аксиальные волны (n = 0) лежат вдоль осей vx и vy. Эта форма представления весьма полезна; действительно, мы увидим далее, что ф-аксиальные волны радикально отличаются в своём поведении от среднего характера реверберации, так как они гораздо сильнее поглощаются, чем все остальные. Действительно, есть основание ожидать, что волны, тангенциальные относительно вогнутой искривленной поверхности, будут поглощаться сильнее, чем косые волны, а волны тангенциальные к плоской или выпуклой искривленной поверхности, будут поглощаться слабее, чем остальные. Третье измерение решётки (vz-направление) получится добавлением ряда подобных же двухмерных сеток, каждая из которых находится от соседней на расстоянии (с/2l). Подсчёт числа стоячих волн с частотами, меньшими v, производится далее так же, как это делалось раньше. «Сглаженные» выражения не сколько труднее вывести, так как приходится использовать для вычисления асимптотические выражения для больших значений m и n. Выражения, аналогичные (32.14), будут иметь вид:
Эти выражения включают выражения объёма (V) и площади (А), совершенно аналогичные случаю прямоугольного помещения, но величина L имеет форму, которую было бы не легко предугадать заранее.
Таким образом, выясняется, что выражение dN для цилиндрического помещения построено по форме совершенно так же, как и для прямоугольного; хотя величина, входящая в последний постоянный член (если он необходим), в каждом частном случае изменённой формы помещения должна быть определена особо, но этот постоянный член выражения редко бывает необходим. Обычно достаточно точное значение даёт один первый член (4πv² V/с³). Можно доказать, что этот первый член имеет одинаковое выражение для помещений, имеющих объём V при любой форме.
Кривая для dN по уравнению (32.17) в общих чертах походит на кривую фиг., но собственные частоты распределены в этом случае не так равномерно, как в случае прямоугольного помещения, в результате чего точные значения величин dN не приближаются к сглаженной кривой вплоть до столь низких частот, как в случае прямоугольного помещения. Это вызвано тем обстоятельством, что при более высоких частотах имеется много мод колебания почти с одинаковой частотой, поскольку асимптотическое выражение для а показывает, что 
. Это «слитие» допустимых частот вызвано симметрией помещения относительно оси цилиндра, в результате чего может устанавливаться известное число стоячих волн, имеющих различное направление, но одну и ту же частоту.
Распределение частот стоячих волн в сферическом объёме ещё менее равномерно, чем в цилиндрическом, и приближение точной кривой для dN к сглаженной происходит при ещё более высоких частотах. Такое помещение было бы неудовлетворительно для воспроизведения звука по причине сильных флуктуации его резонансных свойств при постепенном изменении частоты. Итак, мы можем считать общим правилом, что чем более симметрично помещение, тем больше будет диапазон частот, в котором наблюдаются флуктуации резонансных свойств, и тем менее оно будет пригодно в качестве аудитории или зала.