corpuscul.net

Прохождение звука через границы различных сред

Отражение волн на границе двух сред при нормальном падении

Предположим, что имеются две среды I и II (рис. ), между которыми существует плоская граница раздела, нормальная к оси х и проходящая через начало координат. Удельное акустическое сопротивление первой среды пусть будет R1 = р1с1

а второй — R2 = р2с2. Если из первой среды нормально к границе раздела падает на эту границу плоская волна, то часть энергии проходит во вторую среду также в виде плоской волны, а часть отражается от границы раздела и идет обратно в первую среду. Введем обозначения:

для первой среды:

Эти амплитуды могут быть комплексными, т. е. иметь различные фазы.
Можно написать следующие выражения для скорости частиц и звукового давления.

На границе двух сред (х = 0) значения скорости и давления должны непрерывно переходить из одной среды в другую, т. е. ни скорость, ни давление в любой момент времени не должны испытывать скачка на границе.
Возникновение скачка скорости означало бы также и появление скачка смещения, т. е. разрыв сплошности на границе сред, что следует считать невозможным. Наличие постоянно сохраняющегося скачка давления также физически невозможно, так как давление в двух бесконечно близких слоях двух сред должно мгновенно выравниваться. Скачок давления мог бы существовать, если бы на границе был расположен слой источников звука, а скачок скоростей — если бы на границе был слой диполей. Поскольку предполагать наличие на границе подобных источников нет никаких оснований, мы вправе считать, что давление и скорость частиц меняются при переходе границы непрерывно.
Таким образом, на границе будем иметь:

Между давлением и скоростью частиц существует известное соотношение причем знак плюс соответствует прямой волне, а знак минус — обратной. Для первой среды впадающей волне а в отраженной волне для второй среды

Подставляя эти выражения в граничное условие для скоростей и давлений, получим два уравнения:

Из этих уравнений можно определить отношения скоростей:

Для отношения давлений получим:

Если R2 > R1 т.е. если вторая среда акустически более „жесткая", чем первая, то числитель первого соотношения (3, 3) будет отрицательным. Это значит, что скорость частиц при отражении претерпевает изменение фазы на π или отраженная волна имеет обратную фазу по сравнению с падающей волной. Разности фаз между скоростями частиц в падающей и проходящей волне нет независимо от того, будет ли R2 больше или меньше R1 Очевидно также, что в то время как скорость частиц при отражении от более жесткой среды меняет фазу на тс, фаза давления остается неизменной.
Если R2 < R1 т. е. вторая среда акустически более „мягкая", то фаза скорости частиц при отражении остается без изменения, в то время как давление меняет свою фазу на тс. Наконец, при R2 = R1 отраженной волны не появляется, и распространение во вторую среду происходит беспрепятственно. В этом случае, очевидно,

где отношение с1 / с2 — есть показатель преломления. В случае падения под косым углом при переходе из одной среды в другую, при соблюдении условия R2 = R1 (но р2 ≠ р1 ) будет происходить частичное отражение.
Коэффициентом проникновения энергии из одной среды в другую следует назвать отношение интенсивности проходящей волны к интенсивности падающей волны:

Так как формула (3, 5) симметрична относительно R1 и R2, то коэффициент проникновения энергии будет одинаков независимо от того, идет ли волна из первой среды во вторую или из второй в первую. Например, при переходе из воды в воздух (или наоборот) т = 0,0011, т. е. 0,9989 всей падающей энергии отражается обратно от границы. Для воды и стали т = 0,013. Для воды и некоторых сортов дерева т ≈ 1, т. е. почти весь звук проникает из воды в дерево.

При отражении на границе двух слоев воздуха с разностью температур ∆θ легко найти, что . Если — происходит почти полное проникновение и отражается лишь звуковой энергии. Легко также найти отражение на границе сухого и насыщенного паром воздуха (при той же температуре), для которого плотность примерно на 1/220 меньше, а скорость звука на 1/440 больше. Отраженная звуковая энергия составит от падающей.
Обратим внимание, что даже при очень малом т, например, при переходе из воздуха в воду, звуковое давление в воде на основании уравнения (3,4) будет практически в два раза больше, чем в падающей из воздуха волне. Полное давление в воздухе и в воде на границе почти точно равно удвоенному давлению в падающей волне. Если в воздухе и в воде применяется один и тот же приемник давления (например, гидрофон), то в воде звук, приходящий из воздуха, будет воспринят как столь же сильный, несмотря на то что в воду проникает ничтожная часть звуковой энергии. При использовании приемника скорости, согласно соотношению (3,3), получим во второй среде очень малые величины.
Пусть отражение происходит от абсолютно твердой поверхности R2 = ∞. В отраженной волне фаза скорости противоположна фазе скорости для падающей волны, а амплитуда ее равна амплитуде падающей волны, поэтому сумма скоростей на границе равна нулю:

Так как фаза давления не меняется, то на границе давление удваивается:

Таким образом, на твердой стенке при отражении будет узел стоячей волны и удвоенная амплитуда звукового давления. Этот случай имеет место практически только в том случае, если реализованы условия образования плоской отраженной волны, а именно, когда размеры плоской отражающей поверхности значительно больше длины волны, и дифракционные явления на краях не меняют существенно общую картину отражения. Если, наоборот, длина волны сильно превышает размеры отражающей поверхности, то благодаря дифракции звук огибает ее, плоская отраженная волна не возникает и связанного с ней увеличения давления на границе не происходит. По этой причине микрофон с жесткой диафрагмой (конденсаторный) при очень высоких частотах, когда диаметр диафрагмы микрофона гораздо больше длины волны, показывает в два раза большее давление, чем в бегущей волне; наоборот, при достаточно низких частотах он покажет истинное звуковое давление. Такого рода поправки необходимо делать при акустических измерениях.

Отражение от абсолютно твердой плоской поверхности при наклонном падении звука.

Пусть волна, падающая слева (рис) на абсолютно твердую поверхность под углом θ, за некоторый промежуток времени распространяется на отрезок АО = S.

Длину отрезка можно выразить через координаты х,у точки А:

Величина S играет теперь в уравнении волны роль фазового пути, которую раньше, например в формуле (3,1), играла координата х, причем за положительное направление S принято направление распространения волны. Для падающей волны потенциал скоростей будет:

Аналогично для отраженной волны отрезок ОА' по ходу волны равен S' = — х соs θ' —у sin θ', где θ' — угол отражения, и потенциал скорости будет равен:

Сумма Ф1 и Ф'1 двух решений (3,7) и (3,8) должна удовлетворять линейному дифференциальному уравнению волны, что следует из принципа суперпозиции. На границе (при х = 0) должно быть соблюдено при любых у равенство нулю нормальной компоненты скорости:

Этому условию мы удовлетворим, приняв

Следовательно, амплитуда отраженной волны равна амплитуде падающей и угол отражения равен углу падения. Итак, для потенциала скоростей получим:

В этом выражении множитель характеризует волну, бегущую вдоль оси у в отрицательном направлении (т. е. вниз — на рис). Скорость этого следа волны найдем из соотношения с'= w / (k sinθ), так как волновое число в данном случае равно k sinθ. Следовательно,

Из формулы ясно, что фазовая скорость следа волны больше, чем скорость звука с. Множитель соs (kxсоsθ) в уравнении (3,9), зависящий только от х, показывает, что амплитуда волны испытывает периодические изменения по направлению оси х. Таким образом, волна, бегущая вдоль оси у, «модулирована» в пространстве по закону соs (kx соsθ). В плоскостях, перпендикулярных оси х, амплитуда имеет везде одинаковое значение. Плоскость максимальных амплитуд мы получим, полагая кxсоsθ = nπ. Расстояние между плоскостями максимальной амплитуды будет больше полуволны. Таким образом, параллельно отражающей поверхности образуются интерференционные полосы
с расстояниями между пучностями и узлами, равными (рис.). Эти волны можно назвать „псевдостоячими". Параллельно отражающей поверхности, как уже сказано, бежит волна со скоростью
равной формуле 3.10, модулированная по фронту. Поток энергии в этой волне направлен параллельно оси у, т. е. вдоль границы. Если θ = 0 (нормальное падение), то из уравнения (3.9) получим:

В этом случае волна вдоль поверхности исчезает, и мы имеем процесс обычных стоячих волн с узловыми плоскостями, отстоящими на λ / 2 друг от друга. Стоячая волна характеризуется выражением, в котором переменные х и t входят раздельно в двух множителях. Важно отметить, что при θ = 0 скорость следа волны (3,10) равна бесконечности, поток же энергии вдоль стенки равен при этом нулю.

Совершенно такой же процесс, как при отражении под углом, мы получим при наложении двух плоских волн одинаковой амплитуды, идущих под углом друг к другу. Пусть волны идут в направлениях АА' и ВВ' лежащих под углом 180° — 2θ (првый рис. ). Перпендикулярно оси у везде скорость частиц будет равна нулю, так как ввиду симметрии ^-компоненты скорости в двух составляющих волнах будут равны и противоположны друг другу. Аналогичная картина волн, соответствующая отражению от стенки с другой стороны, будет иметь место и в правом полупространстве х' > 0. Картина отражения плоской волны АО от абсолютно твердой поверхности может быть, таким образом, формально представлена как наложение на прямую волну АА' ее „зеркального" отражения в плоскости Y = 0, т. е. волны ВВ'.

Пусть границей раздела двух сред является плоскость Х = 0 (на ниж. рис.) и на эту границу раздела падает под углом θ1 плоская волна.

В первой среде возникает плоская, отраженная под углом θ1 волна; во второй среде возникает преломленная под углом θ2 волна. Удельное акустическое сопротивление первой среды обозначим через R1=p1c1, второй - R2=p2c2. Напишем отдельно волновые уравнения для каждой среды:

Давления и нормальные компоненты скорости на границе раздела с обеих сторон должны быть одинаковы. Поэтому граничные условия могут быть записаны так:

Потенциалы скоростей в I и II средах можно представить в виде:

Легко показать, что b1 = b2 = b. Действительно, скорости движения следа волны вдоль оси у в I и II средах, равные соответственно w / b1 и w / b2, должны быть равны. В самом деле,
если вдоль границы с левой стороны движется максимум или минимум давления, то в силу непрерывности давления с правой стороны, параллельно ему, также должен двигаться максимум или минимум давления, равный по величине и с той же скоростью. Таким образом,

Мы получили закон Снеллиуса, который соблюдается не только для звука, но и для любых волновых процессов. Подставляя в граничные условия (3, 13) выражения (3, 14), получим:

Из этой системы уравнений можно определить отношения амплитуд:

Из этих формул при одинаковых плотностях двух сред (р1 = р2) после некоторых преобразований найдем:

Формулы (3,18) и (3,19) совпадают с формулами Френеля для коэффициента отражения света, поляризованного соответственно параллельно или перпендикулярно плоскости падения .
Подставляя а1 и а2 в уравнение (3,17) и используя закон преломления, получим:

Коэффициент отражения и коэффициент проникновения волны давления найдем, учитывая, что р = jwpФ:

Принимая во внимание, что на основании (3,14) амплитуды потенциалов скоростей связаны с соответствующими амплитудами Q скорости частиц соотношениями определим коэффициент отражения rq и коэффициент проникновения tq волны скорости частиц:

Из формулы (3,17) следует, что отраженной волны не будет при условии:

Учитывая закон преломления, получим:

Если то ctg θ1 будет положителен и может быть найден некоторый угол θ1 в пределах от 0 до 90°, при котором отсутствует отражение звука на границе двух сред. Например, для этилового спирта р1 = 0,79; и и для хлороформа р2 = 1,49 и Для этих сред из уравнения (3,21) следует, что

Если скорость звука во второй среде гораздо меньше, чем в первой (с1 < с2) то sinθ2 ≈ 0 и θ2 ≈ 0. Таким образом, вторая среда может пропускать волны только в направлении нормали к границе раздела. Таким свойством обладает, например, модель, состоящая из тонких капилляров, перпендикулярных к границе раздела (модель Рэлея). При этих условиях

Вообще говоря, в этих случаях удельное сопротивление второй среды может быть комплексным и характеризоваться некоторым нормальным импедансом Z2 (таким свойством обладают, например, многие пористые звукопоглощающие материалы применяемые в архитектурной акустике). Если среду, на которую падает звук, можно характеризовать нормальным импедансом Z2 то коэффициент отражения

Полное внутреннее отражение звука на плоской границе двух сред.

Из закона преломления (3,16) следует, что sinθ2 = ( c2 / c1 ) sinθ2 если с1 > с2 и sinθ1 > ( c1 / c2 ), то sinθ2 > 1 и будет мнимым. Величина а2 = k2 cosθ2 будет также мнимой и ее можно представить в виде:

Нетрудно показать, что угол преломления в данном случае является чисто мнимой величиной jθ'2, определяемой из соотношения Относительная амплитуда отраженной волны получается на уравнения (3,17):

Так как числитель и знаменатель — сопряженные комплекс-
ные величины, то модуль А'1 / А1 равен единице, т. е. амплитуда
отраженной волны равна амплитуде падающей (|rp| = 1) и происходит полное внутреннее отражение волны. Множитель указывает, что отраженная волна сдвинута по фазе на угол 2ε по отношению к падающей.

Во второй среде

Суммарная волна в первой среде, согласно уравнению (3,14), имеет вид:

Для волны во второй среде

Мы должны взять только отрицательный знак показателей при ах, так как при положительном знаке мы имели бы во второй среде безграничное нарастание амплитуды, что не имеет физического смысла.
Уравнение (3.23) представляет волну, бегущую вдоль отрицательной оси у, т. е. вдоль границы раздела, причем амплитуда ее убывает вдоль волновых фронтов по мере удаления от границы по закону . Такие волны можно назвать волнами, модулированными вдоль фронта.
Скорость убывания амплитуды волны определяется величиной а, которую мы найдем, учитывая связь между а1 и а2 вытекающую из волновых уравнений (3,11) и (3,12). Подставляя в них величины Ф1 и Ф2 из равенств (3,14), получим:

Так как b1 = b2 = b, то из этих соотношений следует, что

Подставляя значения а1 и b из соотношения (3,15), найдем:

Отсюда видно, что при sin θ > (c1 / c2) получим для а2 мнимое значение, модуль которого

При критическом угле, т. е. при sin θ = (c1 / c2), а=0. Следовательно, амплитуда вдоль фронта волны (во второй среде) затухать не будет, а возникает плоская волна, бегущая параллельно границе. Если же sin θ > (c1 / c2) т. е. θ1 больше критического угла полного внутреннего отражения, то a > 0 и амплитуда вдоль фронта волны будет быстро уменьшаться.

При θ1 = π/2 получается наибольшее значение а:

Когда аrcsin ( c1/c2 ) < θ1 < π/2, то величины а будут лежать в пределах от 0 до аmax.

Для случая падения звука из воздуха в воду

На длине λ / 2π волна во II среде ослабнет уже в е раз. На рис. представлен снимок ультразвуковых волн на границе раздела

вазелинового масла (сверху) и насыщенного раствора NаСl (снизу). Граница раздела точно соответствует нижнему краю темной горизонтальной полосы (полоса мениска). Во второй среде, поскольку θ1 > 55° (критический угол), ясно видны фронты волн, идущих параллельно границе раздела и постепенно ослабевающих по мере углубления во вторую среду.
Из уравнения (3,23) получим для звукового давления

и для компонент скоростей частиц по осям х и у

Таким образом, скорости частиц по осям х и у не совпадают по фазе: одна из них опережает другую на 90°. Это значит, что суммарное движение частиц во II среде происходит по эллипсам, лежащим в плоскости падения звукового луча (плоскость ху).

Прохождение звука через плоский слой

При косом падении звука (под углом θ1 из среды I (рис.) с постоянными р1 и c1 на слой жидкости или газа с постоянными р2 и с2 (среда II) и толщиной d, за которым лежит снова бесконечная среда I, отраженные волны возникают как на первой, так и на второй границе; проходящая волна будет только одна — прямая.

В соответствии с этим намечается следующая схема решения задачи. Потенциал скоростей в первой среде (слева от слоя) выразится суммой двух членов (см. первое уравнение (3,14)), а во второй среде — аналогичной формулой, в которую вместо a1 и b1, войдут величины а2 = k2 соs θ2 и b2 = k2 соs θ2. На первой границе (х = 0) и на второй (х =d) должны выполняться условия непрерывности звукового давления и скорости частиц, которые дают 4 уравнения для определения относительных потенциалов скоростей отраженной волны A' / A, проходящей через слой A2 / A1, и двух (прямой и отраженной) волн во второй среде. Решая эти уравнения, можно найти коэффициент отражения (rp) и проникновения (tp) волны давления (через слой):

При δ=1, что соответствует условию (3,20), мы получим при некотором угле падения полное проникновение волн через слой без всякого отражения. Кроме того, полное проникновение будет наблюдаться при соблюдении условия сtga2d=∞, из которого следует:

Для очень тонкого слоя (или для длинных волн) при а2d <1 и не слишком больших или малых величинах δ получим:

Таким образом, при заданном угле падения, а следовательно, при заданных θ2 и b отражение от тонкого слоя прямо пропорционально частоте. Анализ выражения (3,24) показывает, что при углах падения θ1 больших критического (а2 мнимое), уже не происходит полное внутреннее отражение на слое, как это имеет место на границе полупространства. Волны во второй среде, бегущие параллельно передней границе слоя, на задней границе будут иметь известную амплитуду, величина которой при достаточно малых толщинах слоя d или при углах падения, близких к критическому, может быть достаточно велика. Таким образом, вдоль второй (задней) границы будут двигаться волны сжатия и разрежения, что неизбежно вызовет возмущения в среде за слоем и приведет к возникновению проходящей волны во второй среде. Нетрудно показать, что в очень тонком слое почти вся энергия будет проходить через него даже при углах, больших критического. При углах падения, близких к 90°, волны во второй среде очень сильно ослабевают уже при проникновении на глубину одной волны. Отсюда ясно, что при скользящем падении на слой, толщина которого больше λ, получится очень малое проникновение звука через слой, т. е. почти полное отражение.

При падении под углом 0° формулы (3,24) и (3,25) примут вид:

При очень тонком слое или при очень низких частотах (к2d<1) и большом акустическом сопротивлении второй среды (R2 > R1)

где М2 = р2d —масса слоя на 1 см². Отношение энергии падающей волны к энергии волны прошедшей (коэффициент звукоизоляции слоя) будет приближенно равно:

Можно представить себе следующую электроакустическую аналогию для данного случая. Напряжение А1 включается в цепь, содержащую последовательное соединение индуктивного сопротивления wM2 и активного сопротивления 2R1 . Сила тока (скорость) в цепи будет равна а падение напряжения на сопротивлении 2R1 будет Отношение полной мощности цепи к мощности, расходуемой на сопротивлении 2R1 (коэффициент звукоизоляции), равно (A1 / A2)² , что приводит к формуле (3,27).
При нормальном падении мы вправе применить формулы (3, 26) и (3,27) к твердой стенке, например к некоторой монолитной перегородке. При прохождении звука через перегородки, находящиеся в воздухе, всегда и потому

Для воздуха р1c1 = 41 и η≈1/170 M2²f². Звукоизоляция перегородки в децибелах будет равна:

Эта формула подобна известному в архитектурной акустике „весовому закону" звукоизоляции. Для тонкой кирпичной стены (d=10см) с весом 200 кг/м² (или 20 г/см²) при 1024 гц получится звукоизоляция 64 дб. Полученная из опыта звукоизоляция равна 58 дб, т. е. -меньше в 4 раза. Следует учесть, что указанный опыт соответствует условиям не нормального, а диффузного (по всем возможным направлениям) падения. Расхождение объясняется еще и тем, что перегородка, закрепленная по некоторому контуру, ведет себя как диафрагма, способная изгибаться. Такая диафрагма передает звук также посредством изгибных колебаний, помимо волн сжатий и разрежений, которые учитываются формулами (3, 26) и (3, 27). Особенно сильно это сказывается на низких частотах.
Интересен случай прохождения звука из жидкости через слой твердого тела снова в жидкость. Рассмотрим нормальное падение звука из воды на железную пластину толщиной d= 1 cм и переход его снова в воду. В этом случае

Для частот, меньших 2000 гц, первый член будет значительно меньше единицы η ≈ 1, т. е. звукоизоляция практически отсутствует; вся энергия проходит через железную пластину. При частоте
f ≈ 6000 гц, η ≈ 2, а при частоте f ≈ 125 000 гц (k2d= π /2) звукоизоляция достигает максимального значения, равного η ≈179 (22,5 дб). При f ≈ 250000 гц (k2d = π, d = λ2 / 2) звукоизоляция снова равна единице. Вообще максимумы η будут получаться при f ≈ 125000 • (2n + 1 ) гц, а минимумы, равные единице, при f ≈ 125000 • (2n)гц (рис.).
Для слоя с акустическим сопротивлением R2, значительно меньшим, чем R1, например воздуха или губчатой резины (R2 ≈ 40), между двумя слоями жидкости или твердого тела, из формулы (3, 26) получим коэффициент звукоизоляции:

Для воздушной прослойки в воде R1 / 2R2 = 1,83 * 10³. При очень
низких частотах или очень тонких слоях, когда k2d < (2R2 / R1) , первый член будет мал по сравнению со вторым, близким к единице и η≈1. С увеличением частоты η резко возрастает и при условии k2d = π / 2 , достигнет величины (1,83-10³)² (около 65 дб), затем начнет уменьшаться и при k2d = π , (d = λ2 / 2) будет равен единице. Ход изменения η аналогичен изображенному на рис. . При низких частотах, когда k2d < 1 коэффициент звукоизоляции можно представить в виде:

Электроакустическая аналогия в этом случае формально выразится параллельным соединением упругого сопротивления v=sd — объем слоя, соответствующий площади S)

и активного сопротивления где R1— акустическое сопротивление среды за промежуточным слоем). Отношение токов (скоростей) в этих ветвяхбудет равно Абсолютная вели-чина отношения полного тока |q1|, протекающего через параллельное соединение R2 / 2 и zv к току будет равна

Величина скорости |qv + q2| определяется давлением на входе, которое пропорционально амплитуде потенциала скоростей (А1) в падающей волне, а величина |q2| пропорциональна амплитуде (A2) волны, проходящей за слой. Коэффициент звукоизоляции, равный (A1 / A2)² , определится тогда из выражения (3,28).

При Zv < (Rs / 2) движение замыкается почти целиком на упругую
прослойку и η становится велико; при Zv > (Rs / 2) (что может быть при очень тонкой прослойке или при соблюдении условия k2d = πn) сопротивление Rs / 2 „шунтируется" большим сопротивлением и скорость q2 становится почти равной скорости q1 что приводит к отсутствию звукоизоляции слоя η ≈ 1).
Отметим, что в данном случае электрическая аналогия выражается „параллельным" соединением сопротивлений слоя и среды, хотя геометрически они стоят последовательно друг с другом; для слоя, имеющего R2 > R1 мы имели аналогию в форме последовательного соединения.

Прохождение звука через слой (среда II) между двумя различными средами (I и III)

Вывод формул для этого случая проводится по ранее изложенному методу. Для нормального падения звука (θ1 = 0) коэффициент звукоизоляции

где R1 = р1c1, R2 = p2c2 и R3 = p3c3 — акустические сопротивления сред I, II и III. Эта формула может быть применена и для твердых тел. Когда k2d<1 и λ2 > d, а также k2d≈πn, т. е. sin k2d≈0, получим:

Это соотношение совпадает с равенством (3,5) для случая прохождения через границу двух сред. Таким образом, для очень тонких слоев или очень низких частот, а также при условии звукоизоляция не зависит от свойств промежуточного слоя. Если sin k2d≠0, то присутствие промежуточного слоя увеличивает звукоизоляцию, когда R2 лежит по величине между R1 и R3, если этого нет, то наличие слоя уменьшает звукоизоляцию. Если sink2d = 1, т.е.

Из формулы (3,29) видно, что если R2 лежит между R1 и R3, то соотношение (3,30) выражает минимум звукоизоляции; если то η= 1, т. е. звукоизоляции нет.
Условие d=(n + 0.5)(λ/2) для минимума звукоизоляции, т. е. для наибольшей звукопрозрачности, аналогично условию, применяемому в оптике для расчета „просветляющих" слоев. Для иллюстрации применения „просветляющиха слоев в акустике рассмотрим случай прохождения звука из воды в воздух, при котором просветляющий слой должен иметь Вещества, обладающие таким акустическим сопротивлением, найти невозможно. Однако можно искусственно создать такой материал, используя резину с воздушными пузырьками. Нетрудно видеть, что если из общего объема (V1 + V2) часть V2 заполнена воздухом, а часть V1 относится к резине, то модуль объемной упругости такого сложного материала

где х' и х"— модули объемной упругости ..соответственно резины и воздуха (для резины модуль примерно такой же, как и для воды, т. е. для воздуха при звуковых колебаниях ).
Плотность сложного материала будет достаточно точно равна где р' ≈ 1,1—плотность резины. Для квадрата акустического сопротивления слоя получим:

Приравнивая эту величину значению получим V1 / V2 ≈ 1 / 2.55 что соответствует 27% содержания пузырьков воздуха в общем объеме.